CONTENIDOS DEL BLOQUE EN PROBABILIDAD

CONCEPTOS DE LOS CRITERIOS DE LA PROBABILIDAD:

Principio de la multiplicación: Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación puede realizarse de n maneras, entonces ambas operaciones pueden efectuarse juntas de mnmaneras.

Principio de la suma: Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación puede realizarse de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de m + n maneras.

Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.

Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio

Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral

Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales

Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .

Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral

Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro

Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.

PROBLEMAS Y EJERCICIOS APLICANDO LA PROBABILIDAD SIMPLE

EJEMPLO: SE LANZA UN DADO

b) Enumerar los puntos muestrales. Solución: Hay seis puntos muestrales: {1},{2},{3},{4},{5} y {6}.a) Encontrar el espacio muestral. Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

c) Poner dos ejemplos de eventos. Solución: evento A = {resultado es impar} = {1, 3, 5}; evento B = {resultado es mayor que 2} = {3, 4, 5, 6}

d) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {resultado menor o igual a 4}, B = {resultado es primo}. Solución: A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5} sí tienen dos puntos en común, 2 y 3. Por lo tanto, no son mutuamente excluyentes.

e) ¿Cuál suceso es complementario a M = {2, 6}? Solución: {1, 3, 4, 5}.

f) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos? A = {obtener un 2 un el primer lanzamiento}, B = {obtener un 4 en el segundo lanzamiento}. Solución: Son independientes, porque obtener o no un 2 en el primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento.

PROBLEMAS APLICANDO LA PROBABILIDAD CONJUNTA

EJERCICIOS RESUELTOS:

1.-La probabilidad de sacar dos lápices negros es:

P=(2/5)(1/4)

P=2/20

P= 1/10

2.-En una tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen unaa una y sin reposición, dos bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:

Solución:

Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida

será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 3 casos favorables de untotal de 8 bolas. La probabilidad es 3/8. La 2º tiene 2 casos favorables de un total de7 bolas que quedan. Su probabilidad es 2/7 Así, la probabilidad pedida es

P=(3/8)(2/7)

P=(3/4)(1/7)

P=3/28

3.-Desde una tómbola en la que sólo hay 5 bolitas, 2 negras y 3 rojas, se extraen dos, de una en una y sin reposición. Entonces, la probabilidad de que ambas resulten negras es:

Solución: Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 2 casos favorables de un total de 5 bolas. Su probabilidad es 2/5. La 2º extracción tiene 1 caso favorable de un total de 4 bolas que quedan. Su probabilidad es 1/4 .Así, la probabilidad pedida es

P= (2/5)(1/4)

P= (1/5)(1/2)

P= 1/10

4.-En una urna hay 10 fichas blancas y 5 azules. La probabilidad de que, de dos fichas extraídas una tras otra sin devolución, la primera ficha sea blanca y la segunda sea azul es:

Solución:

Sea B ≡La primera ficha sea blanca.

A ≡La segunda ficha sea azul.

La probabilidad pedida es P (B) •P(A) ,(casos favorables/casos totales), así:

P (B)*P(A)

P= (10/15)(5/14)

P= (5/3) (1/7)

P=5/21

5.-Se extraen dos cartas de una BARAJA ESPAÑOLA

, una después de la otra sin devolución. La probabilidad que la segunda cartasea un rey, dado que la primera carta fue rey de bastos es:

Solución:

La BARAJA ESPAÑOLA

consta de 4 reyes en 40 cartas. Después de la 1era extracción quedan 3 reyes en un total de 39 cartas. Entonces, la probabilidad pedida es

P=3/39

P=1/13

6.-Si Pedro tiene un llavero con 4 llaves y solo una de ellas abre una puerta. ¿Cuál es la probabilidad de que si prueba las llaves, logre abrir la puerta al tercerintento sin usar una llave más de una vez?

Solución:

En el primer y segundo intento falla, por lo que hay que considerar solo como casos favorables aquellos en que la llave no es correcta. En el tercer intento hay que considerar como caso favorable únicamente el caso en que la llave es correcta. Como además no se repite ninguna llave, de un intento a otro habrá una llave menos. La probabilidad pedida es:

P(abre 3º intento) =

P(falla en 1º intento) •P(falla en 2º intento) •P(acierta en 3º intento)

P(abre 3º intento) = (3/4)(2/3)(1/2)

P(abre 3º intento) = 6/24

P(abre 3º intento) = 1/6

7.-De un naipe de 52 cartas se extraen consecutivamente 2 cartas al azar, sin restitución. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea el as de trébol y

la segunda sea un 4?

Solución:

Sea los eventos

A ≡extraer un as de trébol de un mazo de 52 cartas

⇒ P(A) = casos favorables hay un solo as de trébol/ casos totales hay 52 cartas en total 1

P=1/52

extraer un 4 de un mazo de 51 cartas.

⇒ P(B) =casos favorables hay cuatros naipes con número 4 / casos totales Quedan

P(B) =(1 por cada pinta) 4/51 cartas en total

La probabilidad pedida es:

P(A) •P(B) = (1/52)(4/51)

8.-Se toman una a una y sin reposición, cinco cartas de una baraja de 52. ¿Cuáles la probabilidad de que las cuatro primeras seanases y la última, reina de diamantes?

Solución:

Cada extracción es sin reposición, por lo que la cantidad de cartas (y particularmente ases), va disminuyendo de una en una. Además, cada extracción es independiente. La probabilidad pedida viene dada por:

P=(4/52)(3/51)(2/50)(1/49)(1/48)

P= (4! 4!• 47! 4!)/( • 51• 50 • 49 • 48 • 47!)

P= 4•7!/52!

9.-La cardinalidad del espacio muestral, o el número de casos posibles que hay, al extraer 4 cartas de un total de 52, viene dada, sin importar el orden en que se extraen, por:

P(Diez) = 4/51

P(Diez)=(4/52)(4/51)

P=(1/13)( 4/51)

P=4/663

La cardinalidad del espacio muestral, o de casos posibles que hay, al extraer 1 carta de las 48 restantes viene dada, por:

P(As) = 4/52

P(Diez) = 4/52

P(Diez) = 4/5151

10.- En una tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen unaa una y sin reposición, dos bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:

Solución:

Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 3 casos favorables de un total de 8 bolas. La probabilidad es 3/8. La 2º tiene 2 casos favorables de un total de 7 bolas que quedan. Su probabilidad es 2/7 .Así,

la probabilidad pedida es : (3/8)(2/7)=( 3/4)(1/7)=3/28

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA REGLA DE LA ADICIÓN

Ejemplos ilustrativos

1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción.

Solución:

A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazón rojo.

Las probabilidades son:

Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:

2) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada con un número par o con un número primo?

Solución:

O también, realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:

3) En una clase, 10 alumnos tienen como preferencia solamente la asignatura de Matemática, 15 prefieren solamente Estadística, 20 prefieren Matemática y Estadística y 5 no tienen preferencia por ninguna de estas asignaturas. Calcular la probabilidad que de un alumno de la clase seleccionado al azar tenga preferencia por Matemática o Estadística o ambas asignaturas.

Solución:

Realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene: